El "present perfect" es un tiempo
que sirve para describir acciones que acaban de suceder en el pasado y que
guardan alguna relación con el presente. Equivale en castellano al pretérito
perfecto:
I have bought a car.
Yo he comprado un coche: nos indica que la acción de comprar el coche
acaba de realizarse.
Si por el contrario utilizáramos el
"past simple" esta conexión con el presente se pierde:
I bought a car.
Yo compré un coche: no implica que la acción haya sido reciente, ni que aún siga
teniendo ese coche.
En las oraciones con "present
perfect" no se suele mencionar el momento en el que se ha desarrollado la
acción:
I have read a book.
Yo he leído un libro: la acción acaba de finalizar.
Ya que si se mencionara el momento de su
realización, entonces habría que utilizar el "past simple":
I read a book this
morning.
Yo leí un libro esta mañana
No obstante, a veces sí se puede mencionar el
periodo de tiempo en el que la acción se ha desarrollado, pero únicamente si
este periodo de tiempo aún no ha finalizado:
This morning I have drunk
three coffees.
Esta mañana me he tomado 3 cafés: utilizo en este caso el
"present perfect" si el periodo de la mañana aún no ha terminado.
Ya que si este periodo hubiera finalizado
habría que utilizar entonces el "past simple":
This morning I drank
three coffees.
Esta mañana me tomé tres cafés: nos indica que la mañana ya finalizó.
Otro uso típico del "present
perfect" es para describir acciones que empezaron en el pasado y que aún
no han finalizado:
I have lived in this city
since 1980.
He vivido en esta ciudad desde 1980: implica que sigo viviendo en la
ciudad.
I have played tennis
since my childhood.
He jugado al tenis desde mi infancia: y sigo jugando
Si la acción hubiera ya finalizado entonces
habría que utilizar el "past simple":
I lived in this city for
10 years.
Yo viví en esta ciudad 10 años: pero ya no vivo ahí.
I played tennis for many
years.
Yo jugué al tenis muchos años: pero ya no juego.
El "present
perfect" se forma con el auxiliar "to have" en presente del
indicativo (simple present), más el participio (past participle) del verbo
principal:
I have listened to the
news.
Yo he escuchado las noticias
She has watched TV.
Ella ha visto la tele
La forma negativa se forma con la partícula
de negación "not" entre el auxiliar y el verbo principal, y la forma
interrogativa se construye con el auxiliar al comienzo de la oración, seguido
del sujeto y del verbo principal:
Porque, por ejemplo, 1.000.000.000 (1 billón) no
puede ser el número más grande ya que 1 billón + 1 es más
grande aún y esto es igual para cualquier número que se escoja.
Si se elige
un número grande cualquiera se puede crear uno más grande con sólo sumarle 1.
Un "googol" es un 1 con cien ceros detrás. Podemos escribir un "googol"
usando exponentes, por ejemplo diciendo que un "googol" es 10^100.
El número más grande con nombre que conocemos es el "googolplex", diez a
la potencia googol, o (10)^(10^100). Eso se escribe como un uno seguido de una
cantidad "googol" de ceros.
Ejemplo:
¿Cuántas hojas de papel se necesitarían para hacer un googolplex si se
pudiese escribir 20.000 ceros en cada página?
Dado que un googolplex es N=10^(10^100), hay 10^100 ceros en su forma
decimal. Si 20.000 ceros o lo que es igual 2*10^4 caben en cada página, se
necesitará (10^100)/(2*10^4) = 5*10^95 páginas.
Primero hay que asegurarse que se está hablando de un googolplex y no de
un número más pequeño, como un googol. Recordar que un googol es el número que
se escribe con un 1 seguido, a la derecha, de 100 ceros, es decir, es el número
10^100.
El googol es un número verdaderamente grande. Por ejemplo, la cantidad de
segundos desde el comienzo de todos los tiempos es cerca de sólo un 1 seguido de
18 ceros y el número de átomos en todo el universo se estima que es sólo 10^18,
un 1 seguido de 80 ceros, así que se necesitaría 10^20
(100.000.000.000.000.000.000 [esto es un 1 seguido de 20 ceros.]) universos para
tener un googol de átomos.
Entonces, un googolplex es un 1 seguido de una cantidad "googol" de
ceros. Ese es un número verdaderamente enorme. De hecho, si se tomaran todos
los átomos en el "universo entero" y los pusieras en línea, poniendo un 1 en el
primero y 0 (ceros) en todos los demás, todavía no se habría escrito un
googolplex ya que existen sólo 10^80 átomos y necesitas escribir 10^100 ceros.
Por lo tanto si se pone 20.000 ceros en una página (tendría que ser una
página muy grande: similar a la página de un periódico, más que a la de un
libro, a menos que los ceros sean realmente pequeños, porque con un tipo de
letra como ésta, sólo se pueden poner 3.500 en una página normal), luego para
escribir un googol necesitarías N páginas, donde (Número total de ceros) =
(Número de ceros en una página)*(Número de páginas), es decir, 10^100 = (20.000)
N ----à
N = (10^100) / (20.000).
Resolviendo esto usando las leyes de los exponentes (se escribe 10^100
como (10) x (10^99), y 20.000 como (2 x 10^4), luego se divide), se encontrará
que N es 5 x 10^95, es decir, un 5 seguido de 95 ceros.
De hecho, para encontrar la respuesta a un googolplex, entonces se
escribirá el mismo tipo de ecuación, excepto que en lugar de 10^100, se
necesitaría
10^(googol):
10^(googol) = (20.000) N ----- N =
(10^googol) / (20.000).
Ahora, si se elabora "esto" usando las leyes de los exponentes, se
encontrará que la respuesta es:
N = 5 x (10^(googol - 5),
Es decir, un 5 seguido de (googol - 5) ceros, o sea por
9999999999 9999999999 9999999999 9999999999
9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 999999999 - 5 ceros (aquí
hay noventa y nueve nueves).
Como se dijo antes, no existen suficientes átomos en el universo para
escribir este número.
Son cuarenta problemas de matemática recreativa, en su mayoría clásicos. El autor comenta:
"están elegidos, tras muchos años de practicar este tipo de problemas
con los alumnos, como aquellos que han tenido más éxito o que más han
sorprendido a la "audiencia".
Portable Matemáticas de Microsoft 2009 es un conjunto de herramientas
matemáticas que puede ayudarte a que tu trabajo sea más rápido y
sencillo. Lo más destacado de Matemáticas de Microsoft es una compleja
calculadora científica con amplias capacidades de representación gráfica
y de resolución de ecuaciones. Puedes utilizarla como una calculadora
de mano, pulsando sus botones, o también puedes usar su teclado para
escribir aquellas expresiones matemáticas que quieras que la calculadora
evalúe.
Es una excelente calculadora gráfica en dos y tres dimensiones.
El
trabajo puede guardarse a la mitad para terminar más tarde, añadirse a
documentos Word o PowerPoint o compartido entre grupos de estudio.
Lo mas importante que por ser Portable la puedes llevar donde quieras en tu USB, nada se instala en tu equipo.
Microsoft Student viene con una calculadora gráfica en dos y tres dimensiones, plenamente funcional y de fácil manejo.
Entre otros componentes de Matemáticas de Microsoft podemos incluir:
* Resolución de ecuaciones paso a paso.
* Apuntes de matemáticas.
* Resolución de triángulos.
* Fórmulas y ecuaciones.
* Conversor de unidades.
La calculadora gráfica también ofrece:
* Herramientas para convertir fórmulas científicas y ecuaciones matemáticas
en gráficas, desde las matemáticas más simples al cálculo infinitesimal.
* Tecnología tridimensional.
* Aspecto externo personalizable.
Resolución de triángulos.
Este instrumento desarrolla capacidades de geometría. Ahora los estudiantes pueden introducir fácilmente sus propios valores.
La calculadora:
* Determina la información desconocida.
* Dibuja el triángulo a escala.
* Provee las reglas matemáticas usadas para calcular los valores que faltan.
Conversor de unidades.
Esta
herramienta resulta sumamente útil tanto en matemáticas como en
ciencias al facilitar a los estudiantes la rápida conversión de unas
unidades de medida a otras en magnitudes como:
El tema de matrices y determinantes es muy amplio de de muchas aplicaciones en los siguientes enlaces se da a conocer de forma, un poco, más amplia , este tema:
Cometas, acercamiento de planetas o eclipses totales de Sol son sólo algunos de los acontecimientos.
Tomado de latercera.com
Recientemente miles de personas fueron testigos del fenómeno conocido
como tránsito de Venus por delante del Sol, una alineación perfecta
entre ese planeta, el Sol y la Tierra que ocurre una vez cada 100 años,
en dos etapas divididas por ocho años cada una. La próxima vez que podrá
ser visible para el ojo humano será el 2117.
Pero cada cierto tiempo podemos ser testigos a simple vista o con
instrumentos un poco más elaborados de una serie de sucesos astronómicos
únicos. Aquí una selección.
1. ACERCAMIENTO DE MARTEAunque cada dos años
aproximadamente Marte tiene considerables aproximaciones a la Tierra,
como consecuencia del movimiento orbital de los dos planetas alrededor
del Sol, el año 2003 se produjo el mayor acercamiento entre ellos,
estando a 55.758.006 km de la Tierra, unos 344 millones de km menos que
la máxima distancia que llega a separar a ambos planetas. Este fenómeno
no ocurría hace 60 mil años y no volverá a repetirse hasta el año
2287. Durante este fenómeno, el planeta rojo se puede ver como un objeto
más brillante y rojizo, además de observar detalles de la superficie
marciana. Todo mejora con la ayuda de telescopios.
2. COMETASEl paso del cometa Halley se
transformó en un suceso el año 1986. Este cometa grande y brillante que
orbita alrededor del Sol cada 75 ó 76 años, se espera que la humanidad
pueda observarlo en 2061.
Otro gran cometa que ha sido visible fue el Hyakutake, que pasó en
1996, su mayor aproximación al planeta en 200 años. Y en diciembre del
2011 el cometa Lovejoy pasó a 140.000 kilómetros de la superficie del
Sol. Se espera que vuelva a aparecer en nuestros cielos en 314 años más.
3. ECLIPSE TOTAL DE SOLAunque este tipo de
eclipses suceden cada ciertos años alrededor del mundo, si tomamos en
cuenta la recurrencia de este fenómeno en territorio nacional, se
transforman en inusuales. Por ejemplo, el último eclipse solar total fue
divisado en Isla de Pascua el año 2010, y el anterior registro fue el
año 1994. Según los datos entregados por la Nasa, nuestro país será
testigo de este fenómeno en 2019.
4. CONJUNCIÓN PLANETARIAEn mayo de este año los
planetas Júpiter, Venus, Mercurio y Marte estuvieron "alineados", es
decir, se pudieron divisar en una misma zona del cielo. Esta
sincronización de cuatro planetas -que ha generado a lo largo de la
historia una larga lista de especulaciones de catástrofes-, no volverá a
ocurrir hasta el año 2040, sumándose esa vez Saturno.
5. ACTIVIDAD SOLAR En estos
momentos nos encontramos en el máximo de actividad solar, un fenómeno
que ocurre aproximadamente cada 11 años y que puede producir diversos
efectos sobre nuestro planeta, como problemas en las operaciones de
satélites y en las señales de ondas cortas de radio. Sin embargo, el
efecto más hermoso de las tormentas solares son las auroras, que son
visibles en los polos de nuestro planeta.
Las auroras, tanto boreales como australes, se producen cuando el
material eyectado por las erupciones del sol chocan a 400 km por segundo
con el campo electromagnético que rodea la Tierra, provocando los
colores y formas que se dejan ver de noche.
6. TRANSITO DE PLANETAS FRENTE AL SOL Venus no es
el único planeta que pasa frente al disco del Sol. Al fenómeno que pudo
observarse el pasado martes y que no será posible de ver hasta el año
2117 se suma el cruce de Mercurio, que pasó por el disco solar el año
2006 y no lo hará hasta el 2016, pues se repite de manera irregular cada
3, 7, 10 y 13 años. Estos son los dos únicos planetas que se pueden ver
desde la Tierra cuando pasan por nuestra estrella.
Esta entrada es un recopilación de varias páginas y la principal: gaussianos.com
Historia
Las ecuaciones diofánticas deben su nombre a Diofanto
que fue quien las estudió primero.
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son números
naturales.
Ecuaciones de la forma ax + by = c
Motivación
Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:
Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes,
unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 €
más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos,
¿cuántos trajes ha comprado de cada color?
Vamos a plantearlo:
La ecuación queda:
Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:
Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones
sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única
ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla.
Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.
Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica
en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números
enteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en
determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lo toman del
matemático Diofanto de Alejandría, quien, además de ser
uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre
otras cosas al estudio de estas ecuaciones
Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales.
Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a
aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar
(y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la
ecuación
con .
Existencia de soluciones
El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él:
Teorema:
Una ecuación lineal diofántica de la forma tiene solución entera si y sólo si el máximo común divisor de y es un divisor de .
Además, si llamamos al se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:
siendo .
Demostración:
1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:
Si la ecuación
(1)
tiene solución entera, entonces existen tales que
Como es un divisor común de y , entonces y , con .
Tenemos entonces lo siguiente:
Es decir, nos queda una expresión del tipo , con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto como deben dividir a , concluyendo así esta parte de la demostración.
2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteneidno como bonus el además:
Supongamos ahora que es un divisor de . Entonces existe tal que . Por otra parte, por el teorema de Bezout existen tales que . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por :
De donde obtenemos
Con lo que hemos llegado a que y son soluciones de la ecuación (1).
Entonces:
es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar.
Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones
diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución
particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir,
todas las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales que se
puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.
Solución general de una ecuación diofántica lineal
Vamos a demostrar el siguiente teorema:
Teorema:
Si es una solución particular de la ecuación
(1)
entonces todas las soluciones enteras de la misma son de la forma:
(2)
con , siendo .
Demostración:
Si es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que . Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación:
Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:
Partiendo de la solución particular anterior , supongamos que tenemos una solución de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:
Restamos las dos ecuaciones, obteniendo
Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a
(3)
Dividimos ahora por :
Como y
son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su
máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en
común en un principio), y divide a , debe cumplirse que divida a .
Esto nos lleva a que debe existir tal que:
De donde obtenemos que debe ser de la forma:
, con
Sustituyendo este valor de en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para :
Ejemplo práctico
Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:
Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor.
Como es un divisor de nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener y debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene
por lo que y .
Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:
A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:
En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del
problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más
cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes
negros que ha comprado es , por lo que el número de trajes grises comprados es .
Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por
nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente:
Por tanto, los únicos valores posibles para son .
Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de
trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta
condición se cumple para . En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró trajes grises y trajes negros.
Fuente de la demostración:
Álgebra y Matemáticas Discretas I, de Carmen Moreno Valencia.
En resumen para todas las formas:
Ecuaciones de la forma ax + by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de
a y b.
En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.
Resolución:
ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor
que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de
a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a
ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a
- bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2...
siempre que se pueda hacer la sustracción. Sea la ecuación 3x + 5y = 52
3x = 52 - 5y.
Para y = 0 queda 3x = 52
Para y = 1 queda 3x = 47
Para y = 2 queda 3x = 42
El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b
= 2 y a
= 14. x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4.
y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8
Ecuaciones de la forma ax - by = c
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de
a y b.
En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Resolución:
ax = c + by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor
que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c + by múltiplo de
a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a
ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a
+ bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2...
siempre que se pueda hacer la sustracción.
Ecuaciones de la forma x2 - y2 = a
Como x2 - y2 = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y)
= a.
Ahora hacemos a = bc.
b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares.
Entonces
x - y = b x + y = c
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2
y
= (b + c) / 2
Ecuaciones de la forma x2 + y2 = z2
Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es
a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.
Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.
Transformamos la ecuación en z2 - y2 = x2
Como z2 - y2 = (z - y)(z + y).
(z - y)(z + y) = x2
El problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos entre sí.
Sean u y v estos números.
(z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u2 - v2)/2, z = (u2
+ v2)/2
Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.
Ecuaciones de la forma x = dy2 + 1
Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación
de John Pell, aunque fue Lagrange
quien resolvió la ecuación. Lagrange demostró que la enésima
solución (xn, yn), se puede expresar en términos de la
primera de esta forma:
xn + ynÖd = (x1
+ y1Öd)n
Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x1 e y1.
Hay un método bastante rápido que consiste en expresar la raíz como una
fracción continua. Sea la ecuación x2 = 14y2 + 1 Ö14 = 3 + 1/(1 + (1/(2
+1)) = 15/4; x1 = 15, y1 = 4 (15 + 4Ö14)2
= 449 + 120Ö14 ; x2
= 449, y2 = 120 (15 + 4Ö14)3
= 13455 + 3596Ö14 ; x3
= 13455, y3 = 3596
Ecuaciones de la forma y2 = x3 + a
Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.
Con a cualquier número natural.
Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada
a posee un número finito de soluciones enteras.
Ecuaciones de la forma xn + yn = zn
La ecuación xn + yn = zn no tiene solución para
n >
3, siendo n un número entero.
Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como
suma de dos cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede
expresar como suma de otras dos similares.
Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años,
aunque Fermat anotó en el margen del libro de Aritmética de la edición
de Bachet "Para esto he descubierto una demostración verdaderamente
maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado pequeño para
contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su
existencia.
El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.
Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo
con las curvas elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos
folios.
Sistemas de ecuaciones
Supongamos que tenemos que resolver este sistema de ecuaciones, sabiendo que
las soluciones tienen que ser números naturales x + y + z = 100
50x + 1000y + 5000z = 100000 Simplificando y sustituyendo el valor de x obtenido en la primera ecuación
nos queda: x + y + z = 100
19y + 99z = 1900 Despejando y en la segunda ecuación nos queda y = 100 - 99z/19. Sustituyendo
este valor en la primera ecuación y despejando x nos queda: x = 88z/19. Para que los valores de x, y y z sean enteros z tiene que ser múltiplo de
19. si z = 19, y = 1 y x = 80.
La ecuación queda:
.
si y sólo si el máximo común divisor de 
y 
es un divisor de 
.
al 
se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:
.
tales que 
y 
, con 
.
, con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto 
como 
tal que 
. Por otra parte, por el 
tales que 
y 
son soluciones de la ecuación (1).
es una solución particular de la ecuación
de la misma son de la forma:
(2)
, siendo 
.
de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:
(3)
y 
son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su
máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en
común en un principio), y 
, debe cumplirse que 
.
tal que:
debe ser de la forma:
, con 
:
es un divisor de 
nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener 
y 
debemos utilizar el 
y 
.
, por lo que el número de trajes grises comprados es 
.
son 
.
. En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró 
trajes grises y 
trajes negros.