COLEGIO ADVENTISTA TITICACA

Productos Notables

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Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo: $3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

un trinomio de la forma: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo: $(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

Ejemplo: $(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

luego:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$
Ejemplo: $(3x+5y)(3x-5y) = \,$; $(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

$(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,$

Ejemplo: $(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

luego:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

$(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,$
Ejemplo: $(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,$

agrupando términos:

$(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,$

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

$(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,$
Ejemplo: $(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,$

agrupando términos:

$(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,$

Identidad de Argand

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,$

Identidades de Gauss

$a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,$

$a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,$

Identidades de Legendre

$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,$

$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,$

$(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,$

Identidades de Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,$

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

adicion de cubos: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,$
diferencia de cubos: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,$

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \,$

$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \,$

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas: Sí y sólo si "n" es impar, $a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,$
Diferencia de potencias n-ésimas: $a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,$

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.
Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

$a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2$

Un resumen de los principales productos notables:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)²	=	a² + 2ab + b²	Binomio al cuadrado
(a + b)³	=	a³ + 3a²b + 3ab² + b³	Binomio al cubo
a² - b²	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a³ - b³	=	(a - b) (a² + b² + ab)	Diferencia de cubos
a³ + b³	=	(a + b) (a² + b² - ab)	Suma de cubos
a⁴ - b⁴	=	(a + b) (a - b) (a² + b²)	Diferencia cuarta
(a + b + c)²	=	a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado