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Como resolver ecuaciones diofánticas

Esta entrada es un recopilación de varias páginas y la principal: gaussianos.com

Historia

Las ecuaciones diofánticas deben su nombre a Diofanto que fue quien las estudió primero.
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son números naturales.

Ecuaciones de la forma ax + by = c

Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:
$\{trajes \; negros \}=x$
$\{trajes \;grises \}=12-x$ $\{precio \; de \; un \; traje \; gris \}=y$
$\{precio \; de \; un \; traje \; negro \}=y+30$ La ecuación queda:

$x(y+30)+(12-x)y=1200$

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

$30x+12y=1200$

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números enteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lo toman del matemático Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones

Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación

$ax+by=n$

con $a,b,n \in \mathbb{Z}$ .

Existencia de soluciones

El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él:

Teorema:
Una ecuación lineal diofántica de la forma $ax+by=n$ tiene solución entera $x_0,y_0$ si y sólo si el máximo común divisor de $a$ y $b$ es un divisor de $n$ .
Además, si llamamos $d$ al $mcd(a,b)$ se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:

$\begin{matrix} x_0=\frac{n}{d} \cdot \alpha \\ y_0=\frac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}$
siendo $d=\alpha a + \beta b$ .

Demostración:
1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:
Si la ecuación

$ax+by=n$ (1)

tiene solución entera, entonces existen $x_0,y_0 \in \mathbb{Z}$ tales que $ax_0+by_0=n$
Como $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ , entonces $a=a_1 d$ y $b=b_1 d$ , con $a_1,b_1 \in \mathbb{Z}$ .
Tenemos entonces lo siguiente:

$ax_0+by_0=a_1dx_0+b_1dx_0=(a_1x_0+b_1y_0)d=n$

Es decir, nos queda una expresión del tipo $kd=n$ , con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto $k$ como $d$ deben dividir a $n$ , concluyendo así esta parte de la demostración.

2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteneidno como bonus el además:

Supongamos ahora que $d$ es un divisor de $n$ . Entonces existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $n=kd$ . Por otra parte, por el teorema de Bezout existen $\alpha, \beta \in\mathbb{Z}$ tales que $d=\alpha a + \beta b$ . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por $k$ :

$kd=k \alpha a + k \beta b=n$

De donde obtenemos

$(k \alpha)a+(k \beta)b=n$

Con lo que hemos llegado a que $k \alpha$ y $k \beta$ son soluciones de la ecuación (1).
Entonces:

$\begin{matrix} x_0=k \alpha =\frac{n}{d} \cdot \alpha \\ y_0=k \beta=\frac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}$

es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar.

Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.

Solución general de una ecuación diofántica lineal

Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:
Si $x_0,y_0 \in\mathbb{Z}$ es una solución particular de la ecuación

$ax+by=n$ (1)
entonces todas las soluciones enteras $xy$ de la misma son de la forma:

$\begin{matrix} x=x_0+\frac{b}{d} \cdot t \\ y=y_0-\frac{a}{d} \cdot t \end{matrix}$ (2)
con $t \in\mathbb{Z}$ , siendo $d=mcd(a,b)$ .

Demostración:
Si $x_0,y_0$ es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que $ax_0+by_0=n$ . Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación:

$a \left ( x_0+\frac{b}{d}t \right )+b \left ( y_0-\frac{a}{d}t \right )=ax_0+by_0+a \frac{b}{d} t-b \frac{a}{d} t=n$

Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:
Partiendo de la solución particular anterior $x_0,y_0$ , supongamos que tenemos una solución $x,y$ de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:

$\begin{matrix} ax+by=n \\ax_0+by_0=n \end{matrix}$

Restamos las dos ecuaciones, obteniendo

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a

$a(x-x_0)=b(y_0-y)$ (3)

Dividimos ahora por $d$ :

$\frac{a}{d} (x-x_0)=\frac{b}{d} (y_0-y)$

Como $\textstyle{\frac{a}{d}}$ y $\textstyle{\frac{b}{d}}$ son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en común en un principio), y $\textstyle{\frac{a}{d}}$ divide a $\textstyle{\frac{b}{d}} (y_0-y)$ , debe cumplirse que $\textstyle{\frac{a}{d}}$ divida a $(y_0-y)$ .
Esto nos lleva a que debe existir $t\in\mathbb{Z}$ tal que:

$y_0-y=\frac{a}{d} t$

De donde obtenemos que $y$ debe ser de la forma:

$y=y_0-\frac{a}{d} t$ , con $t\in\mathbb{Z}$

Sustituyendo este valor de $y$ en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para $x$ :

$x=x_0+\frac{b}{d} t \quad \Box$

Ejemplo práctico

Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:

$30x+12y=1200$

Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor.
Como $mcd(30,12)=6$ es un divisor de $1200$ nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener $\alpha$ y $\beta$ debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene

$6=30-12 \cdot 2$

por lo que $\alpha=1$ y $\beta=-2$ .
Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:

$\begin{matrix} x_0=\frac{1200}{6} \cdot 1=200 \\ y_0=\frac{1200}{6} \cdot (-2)=-400 \end{matrix}$

A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:

$\begin{matrix} x=200 +\frac{12}{6} \cdot t=200+2t \\ x=-400-\frac{30}{6} \cdot t=-400-5t \end{matrix}$

En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es $T_N=200+2t$ , por lo que el número de trajes grises comprados es $T_G=12-T_N=12-200-2t=-188-2t$ .

Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente:

$\begin{matrix} 0 < T_G < 12 \\ 0 < -188-2t < 12 \\ 188 < -2t < 200 \\ -100 < t < -94 \end{matrix}$

Por tanto, los únicos valores posibles para $t$ son $t=\{-99,-98,-97,-96,-95 \}$ .

Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple para $t=-95$ . En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró $-188-2 (-95)=2$ trajes grises y $12-2=10$ trajes negros.

Fuente de la demostración:

Álgebra y Matemáticas Discretas I, de Carmen Moreno Valencia.

En resumen para todas las formas:

Ecuaciones de la forma ax + by = c

Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.
Resolución:
ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a - bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Sea la ecuación 3x + 5y = 52 3x = 52 - 5y. Para y = 0 queda 3x = 52 Para y = 1 queda 3x = 47 Para y = 2 queda 3x = 42 El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b = 2 y a = 14.
x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4. y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8

Ecuaciones de la forma ax - by = c

Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Resolución:
ax = c + by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c + by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a + bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.

Ecuaciones de la forma x² - y² = a

Como x² - y² = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y) = a.
Ahora hacemos a = bc.
b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces
x - y = b
x + y = c
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2
y = (b + c) / 2

Ecuaciones de la forma x² + y² = z²

Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.
Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.
Transformamos la ecuación en z² - y² = x²
Como z² - y² = (z - y)(z + y).
(z - y)(z + y) = x²
El problema se reduce a descomponer x² como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números.
(z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u² - v²)/2, z = (u² + v²)/2
Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.

Ecuaciones de la forma x = dy² + 1

Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell, aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación.
Lagrange demostró que la enésima solución (x_n, y_n), se puede expresar en términos de la primera de esta forma:
x_n + y_nÖd = (x₁ + y₁Öd)ⁿ
Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x₁ e y₁.
Hay un método bastante rápido que consiste en expresar la raíz como una fracción continua.
Sea la ecuación x² = 14y² + 1
Ö14 = 3 + 1/(1 + (1/(2 +1)) = 15/4; x₁ = 15, y₁ = 4
(15 + 4Ö14)² = 449 + 120Ö14 ; x₂ = 449, y₂ = 120
(15 + 4Ö14)³ = 13455 + 3596Ö14 ; x₃ = 13455, y₃ = 3596

Ecuaciones de la forma y² = x³ + a

Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.
Con a cualquier número natural.
Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un número finito de soluciones enteras.

Ecuaciones de la forma xⁿ + yⁿ = zⁿ

La ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene solución para n > 3, siendo n un número entero.
Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras dos similares.
Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet "Para esto he descubierto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado pequeño para contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia.
El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.
Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios.

Sistemas de ecuaciones

Supongamos que tenemos que resolver este sistema de ecuaciones, sabiendo que las soluciones tienen que ser números naturales
x + y + z = 100 50x + 1000y + 5000z = 100000
Simplificando y sustituyendo el valor de x obtenido en la primera ecuación nos queda:
x + y + z = 100 19y + 99z = 1900
Despejando y en la segunda ecuación nos queda y = 100 - 99z/19. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejando x nos queda: x = 88z/19.
Para que los valores de x, y y z sean enteros z tiene que ser múltiplo de 19.
si z = 19, y = 1 y x = 80.

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Existencia de soluciones

Solución general de una ecuación diofántica lineal

Ejemplo práctico

En resumen para todas las formas:

Ecuaciones de la forma ax + by = c

Ecuaciones de la forma ax - by = c

Ecuaciones de la forma x² - y² = a

Ecuaciones de la forma x² + y² = z²

Ecuaciones de la forma x = dy² + 1

Ecuaciones de la forma y² = x³ + a

Ecuaciones de la forma xⁿ + yⁿ = zⁿ

Sistemas de ecuaciones

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Ejemplo práctico

En resumen para todas las formas:

Ecuaciones de la forma ax + by = c

Ecuaciones de la forma ax - by = c

Ecuaciones de la forma x2 - y2 = a

Ecuaciones de la forma x2 + y2 = z2

Ecuaciones de la forma x = dy2 + 1

Ecuaciones de la forma y2 = x3 + a

Ecuaciones de la forma xn + yn = zn

Sistemas de ecuaciones

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Ecuaciones de la forma x² - y² = a

Ecuaciones de la forma x² + y² = z²

Ecuaciones de la forma x = dy² + 1

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Ecuaciones de la forma xⁿ + yⁿ = zⁿ